Question

【题目】已知函数，其中， 为自然对数的底数．

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由题意知． ．

由于， ,根据两个区间关系，分， ， 三种情况讨论。（2）由， 在区间内有零点，设为在区间内的一个零点，则由可知， 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减．由（1）知．， 在区间上单调递减，在区间上单调递增．因此， ， ， ．解得．

试题解析：（Ⅰ）由，有．

所以．

因此，当时， ．

当时， ，所以在上单调递增，

因此在上的最小值是；

当时， ，所以在上单调递减，

因此在上的最小值是；

当时，令，得．

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

于是在上的最小值是．

综上所述，

当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是．

（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，

在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则不可能恒为正，也不可能恒为负．

故在区间内存在零点．

同理在区间内存在零点．

所以在区间内至少有两个零点．

由（Ⅰ）知，当时， 在上单调递增，故在内至多有一个零点．

当时， 在上单调递减，故在内至多有一个零点．

所以．

此时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增．

因此， ，必有

， ．

由有，

由， ．

解得．

所以，函数在区间内有零点时， ．