Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于不同两点，（都在轴上方），且．

（ⅰ）若，求的面积；

（ⅱ）直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，可得．

所以，所以．

又因为点在椭圆上，

所以，即，解得，故．

∴椭圆的方程为． -----------------4分

（Ⅱ）椭圆的左焦点为．

（ⅰ）当时，．

故直线的方程为，直线的方程为，即．

由，消元得，解得或．

由题意可得，故点的坐标为．

由/span>，消元得，解得或．

由题意可得，故点的坐标为．

所以点到直线的距离．

而，所以的面积．--------------- 8分

（ⅱ）设直线方程为，，．

联立方程组，消去，得，-------------10分

由根与系数的关系可得，．

所以

，

所以，即，

代入整理，，即． -----------------13分

所以直线的方程为，所以直线总过定点． -----------------14分

【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质、直线和椭圆的位置关系、三角形面积的求解以及定点的探究性问题，意在考查基本的逻辑推理能力、运算能力和数学应用意识等．