Question

【题目】已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点分别为， （），求证： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，将函数由两个不等极值转化为导函数有两个不等零点，再进一步转化为两函数图象的交点问题；（Ⅱ）合理构造函数，将证明不等式转化为求函数的最值问题，再利用导数进行求解.

试题解析：（Ⅰ）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即方程在有两个不同根.即函数与函数的图象在上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须.令切点，所以，又，所以，

解得， ，于是，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 分别是方程的两个根，即.

作差得， ，即.

所以不等式，等价于，

下面先证，即证，

令，∵，∴，即证（），

令（），则，

∴在上单调递增，∴，

即得证，从而得证；

再证，即证，即证（），

令（），则，

∴在上单调递减，∴，

即得证，从而得证，

综上所述， 成立，即.