Question

【题目】设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦， ，并设它们的斜率分别为， .

(Ⅰ)求拋物线的方程；

(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；

（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析（III）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用焦点在轴上设出抛物线的方程，再代点进行求解；（Ⅱ）在抛物线上设点,利用斜率公式求相关直线的斜率，利用斜率和为0求出等量关系，进而可以证明；（III）利用斜率之积为定值得到等量关系，再写出直线的点斜式方程，进而得到结论.

试题解析：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,

因拋物线过点，故，拋物线的方程为.

(Ⅱ)设，则，

同理

,∴， .

，即直线的斜率恒为定值，且值为.

（III），∴，∴.

直线的方程为 ，即.

将代入上式得即为直线的方程，

所以直线恒过定点，命题得证.