Question

【题目】已知函数的定义域为（0，+），若在（0，+）上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在（0，+）上为增函数，则称为”二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2。

（1）已知函数，若∈1，求实数的取值范围，并证明你的结论；

（2）已知0<a<b<c，∈1且的部分函数值由下表给出：

			t	4

求证：；

（3）定义集合，且存在常数k，使得任取x∈（0，+），<k}，请问：是否存在常数M，使得任意的∈，任意的x∈（0，+），有<M成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）≤0；（2）见解析；（3）0

【解析】

（1）由∈，即在（0，+）是增函数，利用单调性的定义求解即可；

（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出；

（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．再证明f（x）＝0在（0，+∞）上无解．即可得出．

（1）解：因为∈，即在（0，+）是增函数，

当≤0，函数显然为增函数；

当>0，

任取，则

.

，

当≤0，，, 函数为增函数

当>0，

当时，，，，

所以，即，所以在上为减函数.

当时，，，，

所以，即，所以在上为增函数.

所以≤0，

（2）因为∈，且0<a<b<c<a+b+c，

所以，所以，

同理可证，，

三式相加得，所以。

因为，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。

（3）因为集合，且存在常数k，使得任取x∈（0，+），<k}，

所以 ∈，存在常数k，使得<k对x∈（0，+）成立。

我们先证明≤0对x∈（0，+）成立：假设 ∈（0，+），使得>0，记>0，

因为是二阶比增函数，即是增函数。所以当x>时，>，所以 ，

所以一定可以找到一个>，使得>>k，这与<k对∈（0，+）成立矛盾，

≤0对x∈（0，+）成立，所以 ∈，≤0对x∈（0，+）成立。

下面我们证明在（0，+）上无解：

假设存在>0，使得=0，则因为是二阶增函数，即是增函数，

一定存在>>0，>，这与上面证明的结果矛盾。所以在（0，+）上无解。

综上，我们得到 ∈，<0对∈（0，+）成立，

所以存在常数M≥0，使得 ∈，x∈（0，+），有M成立，

又令=（>0），则<0对x∈（0，+）成立，

又有在（0，+）上是增函数，所以，

而任取常数k<0，总可以找到一个>0，使得>时，有>k，所以M的最小值为0。