Question

【题目】如图，P为⊙O外一点，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B为线段PA的中点，BC交⊙O于D，线段PD的延长线与⊙O交于E，连接FE．求证：
（Ⅰ）△PBD∽△CBP；
（Ⅱ）AP∥FE．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）如图，∵PA切⊙O于A，∴BA2=BDBC，
∵B为线段PA的中点，∴PB=BA，
∴PB2=BDBC，即，
∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，
∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E，
∴AP∥FE．

【解析】（Ⅰ）由切割线定理得BA2=BDBC，从而PB2=BDBC，由此能证明△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）由三角形相似得∠BPD=∠C，从而∠BPD=∠E，由此能证明AP∥FE．