Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）
【解析】解：∵f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1，
∴f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x﹣1）（x+3），
令f′（x）=0，
解的x=1或x=﹣3，是函数的极值点，当a＞0时，f（﹣3）是极大值，f（1）是极小值，f（﹣3）f（1）＜0，当a＜0时，f（﹣3）是极小值，f（1）是极大值，f（﹣3）f（1）＜0，
所以，要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（﹣3）f（1）＜0，
∵f（﹣3）=a（﹣3）3+a（﹣3）2﹣3a（﹣3）+1=9a+1，
f（1）=a+a﹣3a+1=1﹣a，
∴（9a+1）（1﹣a）＜0，
即（a+）（a﹣）＞0，
解的a＜﹣ ， 或a＞
所以答案是：（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．