Question

【题目】已知F1 ， F2分别是长轴长为 的椭圆C： 的左右焦点，A1 ， A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1 ， A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是 ，求线段AB长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知2a=2 ，解得a= ，记点P（x0，y0），

∵kOM= ，∴kOM = = = ，

又点P（x0，y0）在椭圆上，故 =1，∴kOM =﹣ =﹣ ，

∴ ，∴b2=1，∴椭圆的方程为

（2）

解：设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程 ，

得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．

由韦达定理可得 ，

可得 ，

故AB中点 ，

QN直线方程： ，

∴ ，已知条件得： ，∴0＜2k2＜1，

∴ ，

∵ ，∴ ．

【解析】（1）由已知2a=2 ，解得a= ，记点P（x0 ， y0），kOM= ，可得kOM = 利用斜率计算公式及其点P（x0 ， y0）在椭圆上，即可得出．（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．