Question

【题目】 将1至这个自然数随机填入n×n方格的个方格中，每个方格恰填一个数（）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．

（1）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；

（2）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；

（3）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）可设1在第一行第一列，同行或是同列的两个数的可能，可得特征值；

（2）写出n=3时的图标，由特征值的定义可得结果；

（3）设a，b利用分类讨论，分情况证明出结果.

解：（1）当时，如下表填数：

同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为

2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；

（2）当时，如下表填数：

同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为

4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，

可得此填数法的“特征值”为；

（3）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为C（A），

考虑含n+1个元素的集合B＝{n2，n2﹣1，n2﹣2，…，n2﹣n}，

易知其中必有至少两个数处于同一行，设为

也必有至少两个数处于同一列，设为．

①若

则有（因为）．

②若，即，

则，．

所以．

即不论何种情况，总有．