Question

【题目】已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆：上.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.直线：交椭圆于，两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ( Ⅱ) 实数的取值范围是

【解析】分析：（1）设点的坐标为，列出关于的方程组，即可求解抛物线方程；

（2）利用已知条件推出m、n的关系，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出k的范围，通过原点O在以线段AB为直径

的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可.

详解：（Ⅰ）设点的坐标为.

由题可知，解得，，，抛物线的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的焦点，

椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的半焦距，

即，又椭圆的离心率为，，即，，

椭圆的方程为，

设，，由得，

由韦达定理，得，，

由，得，解得或，①

原点在以线段的圆的外部，则，

，

即，②

由①，②得，实数的范围是或，

即实数的取值范围是 .