Question

【题目】 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立．

(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;

(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]

【解析】

（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.

(1)对于函数模型,

当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，

综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，

故函数模型，不符合公司要求．

(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，

∴最大值∴

设恒成立，∴恒成立，即,

∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4

∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1，2]