Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）由导数几何意义得切线斜率为，则得， .即得（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：先利用导数研究函数最值： 当时， 在上单调递增. 仅当时满足条件，此时；当时， 先减后增， ，再变量分离转化为，最后利用导数研究函数

最值，可得的最大值．

试题解析：解：（Ⅰ） ，则.

令得，所以在上单调递增.

令得，所以在上单调递减.

（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.

依题意， ， .

于是与抛物线切于点，

由得.

所以

（Ⅲ）设,则恒成立.

易得

（1）当时，

因为，所以此时在上单调递增.

①若，则当时满足条件，此时；

②若，取且

此时，所以不恒成立．

不满足条件；

（2）当时，

令，得由，得；

由，得

所以在上单调递减，在上单调递增.

要使得“恒成立”，必须有

“当时， ”成立.

所以.则

令则

令，得由，得；

由，得所以在上单调递增，在上单调递减,

所以，当时，

从而，当时， 的最大值为.

综上， 的最大值为.