【题目】某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．

(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；

(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．

(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？

参考答案：

【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8

【解析】

(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；

(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.

(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，

∴，

由，得.

且当时，；当时，.

∴的最大值点.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，

∴.

(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，

由，得，且，

∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．

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