Question

【题目】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】

（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定，由，得，再利用，可解得，；

（Ⅱ）先化简条件： ，即M再OA中垂线上，.设直线方程为，点可求；根据，求点H，由点斜式得到直线MH方程，联立直线和直线MH方程，求得表达式，列等量关系解出直线斜率.

解：（Ⅰ）设，由，即，

可得，又，

所以，因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，直线的斜率为，则直线的方程为，

由方程组 消去，整理得，

解得或，

由题意得，从而，

设，由（1）知， 有，，

由，得，

所以，解得，

因此直线的方程为，

设，由方程组 消去，得，

在中， ，

即，化简得，即，

解得或，

所以直线的斜率为或.