Question

【题目】已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12．

（1）求的解析式；

（2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数小于的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．（2）将方程等价转化，利用的导数判断其单调性，利用单调性判断的根的情况．

试题解析：解：(1)∵是二次函数，且的解集是，

∴可设，∴在区间上的最大值是．

由已知，得，∴，∴

（2）方程等价于方程，

设，则当时，是减函数；

当时，是增函数．

∵

∴方程在区间内分别有唯一实数根，而在区间内没有实数根，所在存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两上不等的实数根