Question

【题目】数列{an}的各项均为正数，a1=t，k∈N* ， k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ．
（1）当k=1，p=5时，若数列{an}成等比数列，求t的值；
（2）设数列{an}是一个等比数列，求{an}的公比及t（用p、k的代数式表示）；
（3）当k=1，t=1时，设Tn=a1+ + +…+ + ，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{ Tn﹣ ﹣6n}是一个常数．

Answer 1

【答案】
（1）解：an+an+1=65n，

an+1+an+2=65n+1，

设等比数列（an}的公比是q，

则an+an+1=65n5，

∴q=5，

n=1时，t+5t=30，∴t=5

（2）解：an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，

an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，

数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，

∴t（pn﹣1+pn+…+pn+k﹣1）=6pn，

项数为n+k﹣1﹣（n﹣1）十1=k+1项，

当p=1时，t（k+1）=6，

∴t= ，

当p≠1，且p＞0时，t =6pn，

∴t=

（3）证明：∵n是任意的正整数，当n=1时， =6P1=6，

依此类推，当n取n﹣1项时， = =6，

∴Tn=a1+ + +…+ + ，

Tn= + + +…+ + =a1+ + +…+ + ，

∴（1+ ）Tn=2a1+ + +…+ + =a1+6n﹣6+ ，

∴ Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5

【解析】（1）由an+an+1=65n ， an+1+an+2=65n+1 ， 得到等比数列（an}的公比q=5，由此能求出t的值．（2）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ， an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1 ， 数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．（3）由Tn=a1+ + +…+ + ， Tn=a1+ + +…+ + ，由此能够证明 Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．