Question

【题目】已知函数f（x）=+ax，aR，

（1）讨论函数f（x）的单调区间；

（2）求证：≥x；

（3）求证：当a≥-2时，x[1,+ ∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意，求得，根据和，分类讨论，即可得到函数的单调区间；

（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，即可证明不等式；

（3）不等式恒成立转化为不等式，设出函数，利用导数求解函数的最小值，即可作出证明．

试题解析：

(1)解：fˊ(x) = +a.

（i）当a≥0时, fˊ(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；

(ii)当 a<0 时，令fˊ(x) =0,则ln（-a）+1，

当fˊ(x)>0,即x>ln( -a) + 1时，函数f (x)单调递增；

当fˊ(x)<0,即x<ln( -a) + 1时，函数f (x)单调递减.

综上，当a≥0时，函数f (x)在R上单调递增；当a<0时，函数f (x)的单调递增区间是(ln(-a)+1，+∞)， 单调递减区间是(一∞,ln(-a)十1).

（2）证明:令 a= — 1,由（1)可知，函数/(x) =—x 的最小值为f (1)=0,

∴—x≥0, 即≥x

（3）证明：f (x)十ln ≥a+1 恒成立与f (x)十ln x-a-1≥0 f恒成立等价.

令 g(x)=f(x)+lnx-a-1,g(x)=+ a(x—1)+ lnx-1,则gˊ(x) =++a.

当a≥—2时，gˊ（x) = 十十a≥x十十a≥+a = a十2≥0,(或令φ(x) = 十，则φˊx) = —在[1，十∞)上递增，∴φˊ (x)在[1，十∞)上递增，∴φ(x) ≥φ(1) = 2，

∴gˊ(x) ≥0).

∴g(x)在区间[1，十∞)上单调递增，

∴g(x) ≥g(1)=0，

∴ f(x)十ln x≥a+1 恒成立