Question

【题目】如图1，在边长为3的菱形中，已知，且.将梯形沿直线折起，使平面，如图2，分别是上的点.

（1）若平面平面，求的长；

（2）是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先平面与平面有公共点，得平面与平面相交，设交线为，根据平面平面得到，设，再得到，同理的得到，

根据即可求出结果；

(2) 以点为原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，根据直线与平面所成的角是，即可求出结果.

解：（1）证明：因为平面与平面有公共点，

所以平面与平面相交，设交线为，若平面平面，

因为平面平面，则.

设，又因为，所以，

同理，由平面平面，

因为平面平面，平面平面，

所以.

所以.因为，，，所以，

所以

（2）在图2中，以点为原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示.

易得，则，又，，，

所以，，，

设，则

则

设平面的法向量为，由它与，均垂直可得

，

令，可得，，

所以.

若存在点，使与平面所成的角是，

则，解得，因为，

所以，即