Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

(1)求；

(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2. (2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意，联立y＝t 和抛物线方程可得P点坐标，进而得到N点坐标，再联立直线ON与抛物线方程可求得H点坐标，进而可求得的值；

（2）求出直线MH的方程，并代入抛物线方程中，求出只有一个公共点，从而得证。

试题解析：(1)由已知得M(0，t)，P(，t)．

又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，ON的方程为y＝x，

代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，

因此H(，2t)，∴N为OH的中点，即＝2.6分

(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点．理由如下：

直线MH的方程为y－t＝x，即x＝ (y－t)．

代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点．

∴除H以外直线MH与C没有其它公共点.