Question

【题目】已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．

(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；

(2)设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当MN＝时，求MN所在直线的方程．

Answer 1

【答案】(1)a≥或a≤－.(2)x－2y＝0或x＋2y＝0.

【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系，得当点A在圆外或圆上过点A的圆C的切线存在．再由点与圆的位置关系，建立关于a的不等式，解之即得实数a的取值范围；
（2）根据圆的对称性得到|DM|=|MN|=．利用垂径定理算出CD的长度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA=．然后在Rt△MCA中利用解三角形知识算出AC长，结合|OC|=2得出|AM|=1．由题意知MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直线的方程．

试题解析：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，

∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－.

(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．

∵MN＝，∴DM＝.

又MC＝2，∴CD＝＝，

∴cos∠MCA＝＝

∵AC＝＝，∴OC＝2，AM＝1，

MN是以点A为圆心，半径AM＝1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1

圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，或x2＋(y＋2)2＝4，

∴MN所在直线的方程为：(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，

即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，

即x＋2y＝0，因此，MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.