Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若 ，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意 都有恒成立，求实数 的取值范围；

（Ⅲ）设函数 ，求证：

．

Answer 1

【答案】（1）在上递增；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由于，导函数的零点不能直接求出，考虑二次求导，求出的最值，从而判断出函数的单调性；（2）由题意可知当时，，可通过讨论研究导函数的单调性和最值，得到的最小值，得到参数的取值范围；（3）由题意可得，可考虑证明两个和为的自变量对应的函数值的积为定值，通过整理并放缩可实现上述设想，最终得证.

试题解析：(1),令,则,

则当时,单调递减,当时,单调递增.

所以有,所以

(2)当时,,令,则,则单调递增,

当即时,,成立;

当时,存在,使,则减,则当时,,不合题意.综上

(3），

，

,……,．

由此得，

故（）