Question

【题目】已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，可得

f（x）= = ．

∵函数的最小正周期为π，∴ =π，解之得ω=1．

由此可得函数的解析式为 ．

令 ，解之得

∴函数f（x）的单调增区间是 ．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+ ）+1的图象，

∵

∴g（x）= +1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．

令g（x）=0，得sin2x=﹣ ，可得2x= 或2x=

解之得 或 ．

∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，

若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，

即b的最小值为 ．

【解析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得 ，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为 ．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣ ，利用正弦函数的图象解出 或 ，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性，掌握两角和与差的正弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数即可以解答此题．