Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证PA∥平面EDB；
（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，

∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，

∵OE平面EBD，PA平面EBD，

∴PA∥平面EDB

（2）解：以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设PD=DC=1，则D（0，0，0），P（0，0，1），

B（1，1，0），C（0，1，0），

=（0，0，1）， =（1，1，0）， =（0，1，﹣1），

=（1，1，﹣1），

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），平面PBD的法向量 =（a，b，c），

则 ，取y=1，得 =（0，1，1），

，取a=1，得 =（1，﹣1，0），

设二面角C﹣PB﹣D的大小为θ，

则cosθ= = = ，

∴θ=60°，

∴二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．

【解析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大小．