Question

【题目】运行如图的程序，如果输入的m，n的值分别是24和15，记录输出的i和m的值．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（i﹣4，m），圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上．

（1）若圆C的半径为1，且圆心C在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使∠OMA=90°，求圆C的半径r的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意可得，i=4，m=3，∴A（0，3）．

由 得圆心C为（3，2），

∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，

则 ，即 ，∴2k（4k+3）=0

∴k=0或者 ，

∴所求圆C的切线方程为：y=3或者 ，

即y=3或者3x+4y﹣12=0．

（2）解：依题意，点M在以OA为直径的圆上，其圆心为D ，半径为 ，

点M也在圆C上，∴点M是圆D和圆C的公共点，

又圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，∴要使圆C的半径最小，只须过点D作直线l的垂线，以垂足为圆心C并与圆D外切时的圆C的半径r最小，

∵点D到直线l的距离d= ，

∴圆C的半径r最小值为 ．

【解析】根据题意可得，i=4，m=3，即A（0，3），（1）联立 得圆心C为（3，2），则圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，由点到直线的距离公式，可得到k的值，则所求圆C的切线方程可求；（2）依题意，点M在以OA为直径的圆上，其圆心为D ，半径为 ，点M也在圆C上，得到点M是圆D和圆C的公共点，又圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，要使圆C的半径最小，只须过点D作直线l的垂线，以垂足为圆心C并与圆D外切时的圆C的半径r最小，由点D到直线l的距离即可得圆C的半径r最小值．