Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）当时，求证：存在实数使.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据题意可得处的切线的斜率为2，从而求得a（2）对于存在问题可根据题意赋值验证，当时，显然有，即存在实数使；当时分析函数单调性，得函数最小值，若最小值小于1即得证

试题解析：

（Ⅰ），

因为曲线在处的切线与直线垂直，

所以切线的斜率为2，

所以，

所以.

（Ⅱ）法1：当时，显然有，即存在实数使；

当时，由可得，

所以在时， ，所以函数在上递减；

时， ，所以函数在上递增

所以 是的极小值.

由函数可得，

由可得，

所以，

综上，若，存在实数使.

（Ⅱ）法2：当时，显然有，即存在实数使；

当时，由可得，

所以在时， ，所以函数在上递减；

时， ，所以函数在上递增.

所以 是的极小值.

设，则,令，得

	+	0	-
	↗	极大值	↘

所以当时，

所以，

综上，若，存在实数使.