Question

【题目】已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部； q：x∈R，都有x2+ax+1≥0．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若q为假命题，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部
∴（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，
故p为真命题时a的取值范围为（﹣1，1）．
（2）∵q：x∈R，都有x2+ax+1≥0
∴若q为真命题，则△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，
故q为假命题时a的取值范围（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
（3）∵“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题
∴p与q一真一假，从而
①当p真q假时有，无解；
②当p假q真时有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．
【解析】对于命题p为真，要利用点与圆的位置关系；对于命题q为真，要利用一元二次函数图象的特点，最后利用复合命题真假解决．
【考点精析】利用复合命题和复合命题的真假对题目进行判断即可得到答案，需要熟知由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题;构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” )；“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．