Question

【题目】已知椭圆： （）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径与直线相切，求出的值，由此可求出椭圆的方程；

（2）由得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为。

试题解析：（Ⅰ）由，得，即，①

又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，

且圆与直线相切，

所以，代入①得，

则.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由得，且

设，则，

根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有

要使上式为定值，即与无关，则应，

即，此时为定值，定点为.