Question

【题目】设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N* ， b，c∈R）
（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间（ ）内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设n=2，若对任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1时，fn（x）=xn+x﹣1，
∵ fn（1）= ＜0，
∴fn（x）在区间（ ）内存在零点，
又 +1＞0，
∴fn（x）在区间（ ，1）上是单调递增函数，
故fn（x）在区间（ ）内存在唯一的零点；
（Ⅱ）当n=2时， ，
对任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，
据此分类讨论如下：
①当| |＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；
②当﹣1 ＜0，即0＜b≤2时，M= = ≤4恒成立；
②当0＜﹣ ，即﹣2≤b≤0时，M= = 恒成立；
综上知﹣2≤b≤2
【解析】（Ⅰ）表示出fn（x），根据零点判定定理可得函数在区间（ ）内存在零点，利用导数可判断函数单调，从而可得零点的唯一性；（Ⅱ）对任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，按照对称轴在区间[﹣′1，1]的外边、内部进行分类讨论，可得函数的最大值、最小值及最大值与最小值的差．