Question

【题目】如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．

（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，

∴MN2=PN2=NANB，

∴ = ，

又∵∠PNA=∠BNP，

∴△PNA∽△BNP，

∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．

∵MC=BC，

∴∠MAC=∠BAC，

∴∠MAP=∠PAB，

∴△APM∽△ABP

（2）证明：∵∠ACD=∠PBN，

∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，

∴PM∥CD．

∵△APM∽△ABP，

∴∠PMA=∠BPA

∵PM是圆O的切线，

∴∠PMA=∠MCP，

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，

∴MC∥PD，

∴四边形PMCD是平行四边形

【解析】（1）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NANB，进而 = ，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（2）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．