Question

【题目】【2018百校联盟TOP20一月联考】函数在处的切线斜率为．

（I）讨论函数的单调性；

（II）设， ，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）时， 的单调递增区间为； 时， 的单调递增区间为，单调递 减区间为．（II）

【解析】试题分析：

（1）对求导后根据的取值情况进行分类讨论可得函数的单调性．（2）根据题意将问题转化为函数的最小值不小于函数的最小值的问题解决即可．

试题解析：

（1）由题意得函数的定义域为．

∵，

∴，

∵曲线在处的切线斜率为，

∴，

∴．

∴，

∴．

（ⅰ）当时， ，所以在上单调递增；

（ⅱ）当时，令， ，

当时， ，

时， ，

（ⅲ）当时， ，故当时， ， 在上单调递增．

综上：当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可得，

∴，

设 ，

则，

设，

则，

∵ 当时， ，

∴，

∴在区间上单调递减，

故当时， ，

∴，

∴在上单调递减，

∴，

∴ ，

∴ 在区间上单调递减，

∴．

由题意得 ， ,

令，则，

∴，可求得．

∵对任意的，存在，使得成立．

∴，

整理得，

解得或，

又，所以．

∴ 实数的取值范围为．