Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）当时，若对，，使得成立，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的最值，对函数求导数，，令得，对分类讨论，当，，时，分别讨论函数在区间上的单调性，从而求出函数的最小值；（2）本问主要考查“任意”、“存在”问题的等价转化，对，，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由（1）问易得到函数的最小值，然后通过对的讨论求即可.

试题解析：(I)，令得.

当即时，在上，递增，的最小值为

.

当即时，在上，为减函数，在上，为增函数. ∴的最小值为.

当即时，在上，递减，的最小值为

.

综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.

(II)令

由题可知“对，，使得成立”

等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.

即

由(I)可知，当时，.

当时，，

①当时，

由得，与矛盾，舍去.

②当时，

由得，与矛盾，舍去.

③当时，

由得

综上，的取值范围是.