Question

【题目】已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3（1﹣Sn+1），若 + +…+ = ，求n．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，a2= q，a3= q2，

∵13a2=3S3，

∴13× q=3× （1+q+q2），

整理得：3q2﹣10q+3=0，

解得：q= 或q=3（舍），

∴an= =2 ；

（2）解：由（1）可知Sn+1= =1﹣ ，

则bn=log3（1﹣Sn+1）=log3（1﹣1+ ）=﹣（n+1），

∵ = = ﹣ ，

∴ + +…+ = ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ = ，

∴ = ，

解得：n=100

【解析】（1）通过将a1= ，a2= q，a3= q2代入13a2=3S3计算可知q= 或q=3（舍），进而可得通项公式；（2）通过（1）可知Sn+1=1﹣ ，进而可知bn=﹣（n+1），裂项可知 = ﹣ ，并项相加即得结论．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．