Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b ， g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．
（1）求a ， b ， c ， d的值；
（2）若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意 ,因为f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+2）+cex，则由导数的几何意义可知 ,所以 =2．

（2）解：由（1）知， ，

设函数 ，

．

由题设可得 ，即 ，

令 得

①若 ，则 ，∴当 时，

，当 时， ，即F（x）在 单调递减，在 单调递增，故 在 取最小值 ，

而 ．

∴当 时， ，即 恒成立．

②若 ，则 ，

∴当 时， ，∴ 在 单调递增，

而 ，∴当 时， ，即 恒成立，

③若 ，则 ，

∴当 时， 不可能恒成立．

综上所述， 的取值范围为

【解析】（1）根据题意f（0）=2，g（0）=2，根据导数的几何意义可知f（0）=4，g（0）=4，从而可求得a，b，c，d的值；（2）构造函数 F（x）=kg（x）-f（x） ,若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，即证 x ≥ 2 时恒有 F ( x ) ≥ 0 ．先将函数 F（x）=kg（x）-f（x）求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可.
【考点精析】利用导数的几何意义和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．