Question

【题目】已知，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)的定义域为，.对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性；

（2）利用（1）中的单调性转化为研究函数的最值问题.

解：（1）的定义域为，.

①当时，，令，得；令，得，

所以在上单调递增，上单调递减.

②当时，，

当，即时，因为，所以在上单调递增；

当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增；

当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，

要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，，当时，）

下面我们讨论当时的情形：

当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；

当，即时，因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

因为，，所以，没有两个零点；

当时，即时，因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

，，没有两个零点.

综上所述：当时，有两个零点.