【题目】已知函数（）．

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明．

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论的零点个数．

【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）；（3）当或时，有个零点，当或或时，有个零点，当或时，有个零点．

【解析】

试题分析：（1）设，利用单调性的定义，即可证得函数的单调性；（2）由得，变形为，即，即可根据函数的性质，求得实数的取值范围；（3）由可得变为，令的图象及直线，

根据图象即可判断函数的零点个数．

试题解析：证明：设，则

=

又，所以，，

所以

所以，即，

故当时，在上单调递减的》

(2)由得，

变形为，即

而，

当即时，

所以．

（3）由可得（），变为（）

令的图像及直线，由图像可得：

当或时，有1个零点．

当或或时，有2个零点；

当或时，有3个零点．

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