Question

【题目】已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣ |+|x﹣ |，

∵|x+a|+|x﹣ |≥|（x+a）﹣（x﹣ ）|=a+ 且|x﹣ |≥0，

∴f（x）≥a+ ，当x= 时取等号，即f（x）的最小值为a+ ，

∴a+ =1，2a+b=2；

法二：∵﹣a＜ ，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|= ，

显然f（x）在（﹣∞， ]上单调递减，f（x）在[ ，+∞）上单调递增，

∴f（x）的最小值为f（ ）=a+ ，

∴a+ =1，2a+b=2

（2）解：方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴ ≥t恒成立，

= + =（ + ）（2a+b ） = （1+4+ + ） ，

当a=b= 时， 取得最小值 ，

∴ ≥t，即实数t的最大值为 ；

方法二：∵a+2b≥tab恒成立，

∴ ≥t恒成立，

t≤ = + 恒成立，

+ = + ≥ = ，

∴ ≥t，即实数t的最大值为 ；

方法三：∵a+2b≥tab恒成立，

∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，

∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，

∴（3+2t）2﹣326≤0，

∴ ≤t≤ ，实数t的最大值为

【解析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x= 时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为 ≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出 的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．