Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，又平面，且，点在棱上，且．

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由于直线与不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做，

异面直线与所成的角与与所成的角相等；（2）由三角形中等比例关系可得，由于得，，可知三角形为直角三角形，即．同时利用勾股定理也可得，即可得平面．即，即可得证；（3）连接，交于点，则．过点作于点，连接，则，则为二面角的平面角．

试题解析：（1）取中点，连接，则，且，

∴四边形是平行四边形，∴，

∴（或其补角）为异面直线与所成的角，

∵平面，∴，．

∵，∴，∴．

∴是正三角形，

即异面直线与所成的角等于．

（2）在中，，，∴

∵，∴则，∴，∴

由（1）知，，∴．

∴、又平面，∴，

∵，∴平面，∴

∵，∴平面，

（2）连接，交于点，则，

∵平面，∴平面平面，∴平面，

过点作于点，连接，则，

∴为二面角的平面角．

在中，．

在中，．

在中，．

∴．

即二面角的大小为．