Question

【题目】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．

① 若函数g(x)在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；

② 求函数g(x)在x∈[0，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2. ②见解析

【解析】试题分析：（1）设二次函数一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入条件化简，根据恒等条件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根据f(2)＝15，求c（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.

试题解析：解：(1) 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，

∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.

又f(2)＝15，∴ c＝15.

∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.

(2) ① ∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，

∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.

又g(x)在x∈[0，2]上是单调函数，∴ 对称轴x＝m在区间[0，2]的左侧或右侧，∴ m≤0或m≥2.

② g(x)＝x2－2mx－15，x∈[0，2]，对称轴x＝m，

当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；

当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；

当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.

综上所述，g(x)min＝