Question

【题目】(1) 若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围；

(2) 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

① 若函数f(x)有且仅有一个零点，求实数m的值；

若函数f(x)有两个零点且两个零点均比－1大，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(－4，0)．（2）(－5，－1)．

【解析】试题分析:（1）利用函数图像研究函数零点：先作出函数g(x)＝|4x－x2|图像，再研究直线y＝－a与它有四个交点的条件，即得实数a的取值范围；（2）①由二次函数得Δ＝0，解得实数m的值；②由实根分布充要条件得 ，解不等式组可得实数m的取值范围．

试题解析：解： (1) 令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，

即|4x－x2|＝－a.

令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)，h(x)的图象．

由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围是(－4，0)．

(2) ① f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点f(x)＝0有两个相等实根Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，

∴ m＝4或m＝－1.

② 由题意，知

即

∴ －5＜m＜－1.

∴ m的取值范围是(－5，－1)．