Question

【题目】已知函数f（x）=2x

（1）试求函数F（x）=f（x）+f（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；

（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；

（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2 ； （2）a＜0，或a＞2； .（3）a≥1.

【解析】

（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；

（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；

（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．

（1）∵x∈（﹣∞，0]，F（x）=f（x）+f（2x）=2x+4x，令2x=t，（0＜t≤1），

即有F（x）=t2+t= 在 单调递增, 时

（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1

所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1，或t2﹣at＜﹣1．

即存在t∈（0，1）使得，∴a＜0，或a＞2；

（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立

因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立，∴．

设m（x）=令，∴．

所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1．