Question

【题目】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求圆的面积取最大值时t的值；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)－<t<1;(2)t＝;(3)0<t<．

【解析】

（1）先化圆的标准方程，再根据半径大于零得不等式，解得t的取值范围；（2）根据半径最大时面积最大，转化为求半径最大值，再根据二次函数性质求最大值取法即得结果；（3）根据条件列不等式，解得结果.

(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，

∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－<t<1．

(2)∵r＝，

∴当t＝∈（－）时，rmax＝．

故当t＝时，圆的面积最大．

(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9<0时，点P在圆内，

∴8t2－6t<0即0<t<．