Question

【题目】定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a+ ， g（x）= ．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[ ， 3]上的所有上界构成的集合；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函数g（x）为奇函数，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，
即=，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=﹣1．
（2）由（1）得：g（x）=，
∵函数g（x）=在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）=在区间[，3]上单调递增，
∴函数g（x）=在区间[，3]上的值域为[﹣2，﹣1]，
∴|g（x）|≤2，
故函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴﹣3≤f（x）≤3，
∴﹣4﹣≤a≤2﹣，
∴﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立．
设t=2x ， t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，
则h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
∴实数a的取值范围为[﹣5，1]
【解析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数a的值；
（2）求出函数g（x）=在区间[ ， 3]上的值域为[﹣2，﹣1]，结合新定义，即可求得结论；
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立，换元，求出左边的最大值，右边的最小值，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义和函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．