Question

【题目】已知幂函数f（x）=x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）﹣ax+1，a为实常数，求g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）因为幂函数f（x）=x﹣m2+m+2 在（0，+∞）上单调递增，
所以﹣m2+m+2＞0，故﹣1＜m＜2．
又因为m∈Z，故m=0，或m=1，所以f（x）=x2 ．
（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，
①若≤﹣1，即a≤﹣2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以g（x）mi n=g（﹣1）=a+2．
②若﹣1＜≤1，即﹣2＜a≤2时，
g（x）在[﹣1，]上单调递减，[，1]上单调递增，
所以g（x）min=g（\frac{a}{2}）=1﹣．
③若＞1，即a＞2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递减，
所以g（x）min=g（1）=2﹣a．
综上：a≤﹣2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为a+2；
﹣2＜a≤2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为1﹣；
a＞2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为2﹣a．
【解析】（1）由条件可得﹣m2+m+2＞0，解得m的范围m．再结合m∈Z，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，再分①若≤﹣1、②若﹣1＜≤1、③若＞1三种情况，分别利用二次函数的性质，求得g（x）min ． ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数在闭区间上的最值的相关知识，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，．