Question

【题目】已知函数存在两个极值点．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）对原函数求导，即该导函数在有两个不同根，对该导函数继续求导，发现只有一个零点，分a = 0，a < 0，a > 0三种情况讨论即可.

（Ⅱ）要证，即证．

由得，得.

所以原命题等价于证明．

因为，故只需证，即

令，则，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可.

试题解析：（Ⅰ）由题设函数的定义域为， ，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．

当a = 0时，显然只有1个零点．当a≠0时，令，那么．

若a < 0，则当x > 0时，即单调递增，所以无两个零点. … 3分

若a > 0，则当时， 单调递增；当时， 单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．

综上得，实数a的取值范围是．

（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得．

由得，得.

所以原命题等价于证明．

因为，故只需证，即

令，则，设，只需证．… 10分

而，故在单调递增，所以．

综上得．

点晴:本题主要考查函数极值，不等式证明问题.要求极值，求导得导函数，分a = 0，a < 0，a > 0三种情况讨论极值情况，要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.