Question

【题目】设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.（1，2）
B.（2，+∞）
C.（1， ）
D.（ ，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），
∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．
当 x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（ ）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，
且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1．
分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=loga（x+2）（图中红色曲线）图象如图：
由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，
可得函数f（x）和y=loga（x+2）图象有3个交点，
故有 ，求得 ＜a＜2，
故选：D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．