Question

【题目】设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：函数求导得，讨论，由导数的正负求单调区间即可；

（2）若，分析函数可知，即，设，，讨论和两种情况，知成立，时不成立，时，存在，使得当时，，可化为，即，设，分析和求解即可.

详解：（1）．

当时，，上单调递增．

当时，若，则，若，则；所以在单调递增，在上单调递减．

（2）若，在内单调递增，当时，，所以，即.

设，.

若，时，，在单调递增.所以当时，，

故存在正数，使得当时，.

若，当时，，在单调递减，因为，所以.故不存在正数，使得当时，.

若，在单调递减，因为，所以存在，使得当时，，可化为，即.

设，.

若，则时，，在单调递增，又，所以时，.故不存在正数，使得当时，.

当时，当时，，在单调递减，又，所以.故存在，使得当时，.

综上，实数的取值范围为．