Question

【题目】如图，在四面体中，， ．

（1）证明：；

（2）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；

（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.

详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．

因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．

（2）在Rt△中，因为，，所以，， ，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．

以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则， ，，，，，．

设是平面的法向量，则，即，可取．

设是平面的法向量，则，即，可取．

因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为

解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．

设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．

（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．

在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．

因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．