Question

【题目】椭圆：，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为，直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线的垂线，垂足为.若，求点的轨迹方程；

（3）设直线，，的斜率分别为，，，其中且.设的面积为.以、为直径的圆的面积分别为，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意知a＝2b，且，由此能求出椭圆方程．

（2）先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m，k的关系式，从而求得．再验证斜率不存在时也满足，则可得点的轨迹方程.

（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围．

（1）由题可知，，且，解得：，，

故椭圆的方程为：.

（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由可得，由韦达定理有：

且

∵，∴，即

∴

由韦达定理代入化简得：

∵垂直直线，∴

当直线斜率不存在时，设：，易求，此时

所以点的轨迹方程为.

（3）设直线的方程为，

由可得，由韦达定理有：

且

∵，∴，即

由韦达定理代入化简得：.

∵，∴

此时，即.

故

又

为定值.

∴

∴当且仅当时等号成立.

综上：.