Question

【题目】函数f（x）=lnx+ +ax（a∈R），g（x）=ex+ ．
（1）讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若对于x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：对于x＞0，不等式ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得f'（x）=x+ +a= ，

当a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点；

当a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时，

①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x1，x2，

则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2，

∴x1，x2是函数的两个极值点．

②a＞2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，

则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0，

故函数没有极值点．

综上，当a＜﹣2时，函数有两个极值点；

当a≥﹣2时，函数没有极值点

（2）解：（i）f（x）≤g（x）等价于ex﹣lnx+x2≥ax，

由x＞0，即a≤ 对于x＞0恒成立，

设φ（x）= （x＞0），

φ′（x）= ，

∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，

∴φ（x）≥φ（1）=e+1，

∴a≤e+1．

（ii）（ ii）由（ i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），

即：ex+ x2≥lnx+ x2+（e+1）x，

等价于ex+x2﹣（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，

以下证明：lnx+ ≥2，

设θ（x）=lnx+ ，则θ′（x）= ﹣ = ，

∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，

x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，

∴θ（x）≥θ（e）=2，

∴lnx+ ≥2，②当且仅当x=e时取等号；

由于①②等号不同时成立，故有ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2

【解析】（1）求f（x）的导数f′（x），根据x＞0求出f'（x）的值域，讨论a的值得出f′（x）的正负情况，判断f（x）的单调性和极值点问题；（2）（i）f（x）≤g（x）等价于ex﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可；（ii）由（ i）结论，a=e+1时有f（x）≤g（x），得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．