Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．线段CF2的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P．
（1）若椭圆的离心率为 ，△PF1C的面积为12，求椭圆E的方程；
（2）设S =λS ，求实数λ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆的离心率e= = ，则a= c，b2=a2﹣c2=c2，

∴△F1CF2是等腰直角三角形，丨PF1丨+丨PF2丨=2a，则丨PF2丨=2a﹣丨PF1丨，

由勾股定理知，丨PF1丨2=丨CF1丨2+丨CP丨2，丨PF1丨2=a2+（a+丨PF2丨2）2，

则丨PF1丨2=a2+（3a﹣丨PF1丨2）2，

解得：丨PF1丨= ，丨PF2丨= ，丨PC丨= ，

∴△PF1C的面积为S= ×a× =12，即a2=18，b2=9．

∴椭圆E的方程为

（2）解：设P（x，y），因为直线AB的方程为y=﹣ x+b，直线PC的方程为y= ﹣b，

所以联立方程解得M（ ， ）．

因为S =λS ，所以丨CM丨=λ丨CP丨，所以 =λ ，

∴（ ， ）=λ（x，y+b），则x= ，y= ，

代入椭圆E的方程，得 + =1，

即4c2+[2a﹣λ（a+c）]2=λ2（a+c）2，

∴λ= = =1+e+ ﹣2≥2 ﹣2=2 ﹣2，

因为0＜e＜1，1＜e+1＜2，

∴当且仅当e+1= ，即e= ﹣1时，

∴取到最小值2 ﹣2．

【解析】（1）由题意可知b=c，则△F1CF2是等腰直角三角形，利用勾股定理及椭圆的定义，求得丨PF1丨= ，丨PF2丨= ，丨PC丨= ，根据三角形的面积公式，即可求得椭圆E的方程；（2）求得直线AB及PC的方程，联立求得M点坐标，由题意可知：丨CM丨=λ丨CP丨，根据向量数量积求得P点坐标，代入椭圆方程，利用基本不等式性质即可求得λ的最小值．